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同阶非同构阿贝尔群中最大 Sidon 集：分支限界穷举判定"极值是否依赖群结构"
1 · 研究问题
同阶但不同构的有限阿贝尔群（如 Z_36 与 Z6×Z6）的最大 Sidon 集（Sidon set / B2 set）大小是否可以不同？若可以，最小的"分离阶"是多少？
2 · 研究背景与空白
Sidon 集指两两之和（等价地，两两之差）互不相同的子集，是加性组合的中心对象。循环群 Zn 中的极值由 Singer/Bose 型完美差集在 n = q²+q+1 等阶上达到，约为 √n；O'Bryant 的动态综述（Electron. J. Combin.）汇总了循环群的已知精确值表。
近年工作集中在渐近界与特殊族：Z2^n 中大 Sidon 集（Czerwinski–Pott, arXiv:2411.12911）、极小极大 Sidon 集（arXiv:2109.00292）等。本轮检索未找到一般 Za×Zb 的逐阶精确表，也未找到"同阶群横向对照"的系统结果——未找到不等于不存在，第 3 周须以 Sidon set noncyclic abelian group exact 等检索式复查。
空白在"极值是群的阶的函数还是群结构的函数"这一初等而自然的问题缺少系统数据。适合学生：算法自成一体、每个答案自带证书（极值集本身 + 穷尽搜索日志）、结论正负都成立。
3 · 可检验假设
- H1：存在阶 N ≤ 64 使得两个同阶阿贝尔群的最大 Sidon 集大小不同，且最小分离阶出现在 p² | N 的阶上。
- H2（备择）：若 N ≤ 64 内全部同阶群极值相同，则可将"阶 ≤ 64 内极值仅依赖阶"作为经数据支持的明确猜想提出，并对分离必要条件给出部分证明。
4 · 量化验收标准
- 方法学校验（硬门槛）：自建搜索器复算 O'Bryant 综述及 OEIS 相关序列（编号第 1 周核实）中循环群 N ≤ 40 的已知极值 ≥ 30 项，全部吻合；不吻合则后续结论无效。
- 阶 ≤ 64 全部阿贝尔群（含全部不变因子分解型）的极值表，每项附极值集证书与上界证明（穷尽日志或 ILP 对偶界）。
- 极值集在群自同构下的轨道计数（分离例的结构分析基础）。
- 分支限界与 ILP 两种独立方法在 ≥ 20 个群上结果一致（交叉校验）。
- 全部代码与证书开源。
5 · 数据与工具
| 用途 | 来源 / 工具 |
|---|---|
| 极值搜索 | Python 自写分支限界（增量维护差集合；无现成库，需自行实现）；N = 48 预计 10^7–10^9 节点，单群数分钟至数小时；N > 80 超出范围 |
| 上界交叉验证 | pulp + CBC（内置免费 ILP 求解器）：变量 N 个、冲突约束 O(N²) 条 |
| 已知值对照 | O'Bryant 动态综述、OEIS——仅用于校验，不计入贡献 |
| 自同构轨道 | sympy / 手写（阿贝尔群自同构可显式生成）；必要时 GAP 复核 |
6 · 方法路径
- 实现 Sidon 判定与分支限界（含按差集合冲突的剪枝），先跑循环群完成校验。
- 加入群自同构对称性剪枝（固定轨道代表元），实测 N=32 全群耗时定标。
- 穷举阶 ≤ 64 全部阿贝尔群，逐项存证书。
- 用 ILP 独立复核每个上界。
- 定位分离例（或确认无），对分离/不分离用子群陪集结构给出解释性证明尝试。
- 汇总为"阶-群结构-极值"三列主表并撰写。
7 · 新颖性边界
本课题不声称任何渐近新界。已有工作：循环群精确表（O'Bryant 综述）、Singer/Bose 构造、Z2^n 的近期上下界（Czerwinski–Pott 2024）均已发表，只作校验与对照。本项目贡献（主结论）：首个系统的同阶阿贝尔群最大 Sidon 集横向对照精确表与"结构依赖性"判定。两种结果都有效：找到分离例即发现极值的结构依赖现象；未找到则提出并部分证明"小阶内仅依赖阶"猜想。价值：把一个教科书级概念的初等开放问题落成可验证的数据与证书。
8 · 决策门槛（go / no-go）
- 第 3 周末：循环群校验 30 项全过；同时完成第二轮"是否已发表"检索。
- 第 8 周末：实测 N = 32 单群耗时。若最坏群 > 24 h → 降级一：上限收缩到 N ≤ 48 并强制自同构剪枝；框架不变。
- 第 20 周末：若无分离例且算力到顶 → 降级二：主结论改为 H2 猜想 + 极值集轨道分类 + 分离必要条件的证明，仍是完整论文。
- 第 28 周冻结搜索。已知风险：ILP 在 N ≥ 56 可能超时——只影响交叉校验覆盖率，主结论以穷尽日志为准，此点在论文中如实报告。