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带角缺口 Aztec 菱形族的多米诺铺砌计数：大整数因子分解猜出乘积公式并用 Kuo 凝聚证明
1 · 研究问题
从 Aztec 菱形 AD(n) 的四角对称地挖去 k 层台阶后的两参数区域族 AD(n,k)，其多米诺铺砌数 T(n,k) 是否为"全部素因子有界"的乘积公式型数列？若是，公式能否用 Kuo 图凝聚（graphical condensation）归纳证明？
2 · 研究背景与空白
Aztec 菱形定理 T(n,0)=2n(n+1)/2（Elkies–Kuperberg–Larsen–Propp 1992）是铺砌计数的样板。Kuo 凝聚（2004）把 Dodgson 行列式凝聚图化，是证明此类乘积公式的通用引擎；Ciucu–Krattenthaler 的挖角六边形、Lai 的大量变体、Di Francesco 的 Aztec 三角形猜想（2021 提出，2024–25 获纯组合证明，arXiv:2508.04545）都循"计数 → 因子分解识别 → 凝聚归纳"路径。
空白在该领域族参数空间极大，具体的"对称四角台阶缺口"两参数族未见处理；主要风险恰是它可能已被 Lai 等扫过——检索未找到，但此领域产出密集，第 6 周必须完成针对性文献核查（关键词 Aztec diamond corner cut / staircase removed），并准备换参数族。适合承受中等风险、喜欢代数组合的学生：数值侧门槛低，素因子判据给出清晰的 go/no-go 信号。
历届对照：66 项获奖论文中无铺砌/计数公式类，题材在该赛道是空缺。
3 · 可检验假设
- H1：max prime factor(T(n,k)) 在 n ≤ 14、k ≤ 4 内有界（≤ 一个不随 n 增长的常数），即存在乘积公式，且公式可由因子表拟合出显式形式。
- H2：T(n,k) 满足一条 Kuo 凝聚型二次递推，数值上在 n ≤ 12 全部成立，并支撑归纳证明。
4 · 量化验收标准
- 方法学校验（硬门槛）：自建计数器复现 (a) AD(n) 的 2n(n+1)/2（n ≤ 12）；(b) a×b 矩形多米诺铺砌数与 Kasteleyn 公式（ab ≤ 60 的 ≥10 例）。全部吻合，否则后续无效。
- T(n,k) 精确值表：n ≤ 14、k ≤ 4（大整数精确，无浮点）。
- 素因子分解表与"最大素因子 vs n"判据图；乘积公式候选须在全表 100% 吻合。
- 凝聚递推在可计算范围内 100% 数值成立后，方可进入归纳证明；证明须覆盖基例与全部归纳分支。
- 计数器双实现（轮廓 DP 与 Kasteleyn 行列式）在 ≥15 个实例交叉一致；代码开源。
5 · 数据与工具
| 用途 | 来源 / 工具 |
|---|---|
| 精确计数（主） | Python 自写轮廓线 DP（broken profile bitmask，宽 ≤ 20 → 状态 2^20，转移 ~10^7–10^8，分钟级；Python 原生大整数保证精确） |
| 精确计数（副） | Kasteleyn 定向 + 行列式（sympy 精确行列式，慢，只做小例交叉校验；平面定向需自行实现） |
| 因子分解 | sympy.factorint（内置，数千位整数的小因子剥离足够；若出现大素因子即为 no-go 信号本身） |
| 文献对照 | EKLP 1992、Kuo 2004、arXiv:2508.04545 等——仅校验与方法参照，不计入贡献 |
6 · 方法路径
- 实现轮廓 DP，完成两组校验。
- 完成第 6 周针对性查重检索（本课题最关键的核实点）。
- 算 T(n,k) 全表，做素因子判据。
- 若判据通过：从因子表按 n 的多项式因子模式拟合乘积公式（对齐 Gamma/超阶乘形式）。
- 数值验证 Kuo 凝聚递推（选取四点组合的两两匹配恒等式）。
- 写归纳证明：公式代入递推的代数恒等式验证 + 基例。
- 交叉校验：Kasteleyn 副实现复核关键值。
7 · 新颖性边界
Aztec 菱形定理、Kuo 凝聚、既有挖角族公式全部是已发表工作（点名见第 2 块）；方法完全沿用社区标准路径，不声称方法新颖。贡献（主结论）：一个未被处理的两参数缺口族的乘积公式与证明；若素因子判据失败，主结论转为"该族无乘积公式的计算证据 + 铺砌熵 lim log T / n² 的估计（对数拟合，自助法给置信区间）"——负结果同样刻画了乘积公式现象的边界。定位诚实声明：本题属"已有强方法应用于新构型"，价值在于构型选择与完整证明，非方法创新。
8 · 决策门槛（go / no-go）
- 第 6 周末：查重检索完成。若该族已发表 → 换缺口参数（非对称缺口/单角双层），管线零改动。
- 第 10 周末：素因子判据。若 n ≤ 10 即出现随 n 增长的大素因子 → 降级一：转熵估计 + 无公式证据路线（框架保留"精确计数→结构判断"）。
- 第 24 周末：若凝聚归纳的代数恒等式（超阶乘商）验证不动 → 降级二：主结论为公式猜想 + 递推的数值完备验证（n ≤ 12 全分支），证明降为部分结果。
- 选择前提：仅当学生接受"上限取决于恒等式代数功夫"再启动；数值部分四周内可完成，风险集中在后段。