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辛积分器与非辛积分器在开普勒/三体问题上的长期能量漂移标度律：修正方程预测的定量检验
1 · 研究问题
对 Störmer–Verlet 等辛积分器（symplectic integrator）与 RK4 等经典方法，长期能量误差随时间与步长的增长规律，是否与后向误差分析（backward error analysis）给出的修正方程（modified equation）预测在测量精度内一致？进一步：自适应步长破坏辛性后，能量漂移速率随容差参数如何标度？
2 · 研究背景与空白
哈密顿系统的数值积分中，辛积分器不精确守恒能量，但能量误差长期有界振荡；非辛方法（如 RK4）则出现线性漂移。后向误差分析给出机制：辛方法精确积分的是一个邻近的修正哈密顿量，能量误差在指数长时间内 O(hp) 有界（Hairer–Lubich–Wanner，《Geometric Numerical Integration》）。
已有工作非常成熟：理论证明完整；天体力学界对自适应步长破坏辛性的现象有明确研究（Preto & Tremaine 1999 提出时间变换保辛方案；近期工作证明可逆步长自适应可消除长期漂移，arXiv:2301.06253）。文献给出的多为定理与个例演示，参数通常只覆盖单一问题、单一偏心率。
空白在评价维度与系统性：把"漂移速率 vs 步长/容差/偏心率"作为被测对象，在同一套自建管线里跨方法、跨问题族做系统扫描并与修正方程逐项对照的公开复现研究很少。方法全公开、解析参照充足（开普勒问题有精确解）、结论正负都成立，适合一年期学生课题。
3 · 可检验假设
- H1 Störmer–Verlet 在偏心率 e ≤ 0.9 的开普勒问题上，能量误差振幅随步长按 h² 标度（双对数拟合指数与 2 的偏差 ≤ 5%），且在 10⁷ 步内无可测线性漂移（漂移率与零的偏差在自助法置信区间内）；RK4 的能量漂移率随 h 按 h⁴ 标度。
- H2 采用"每步按当前半径调步长"的朴素自适应策略后，Verlet 出现线性能量漂移，漂移率随容差 ε 按幂律标度，幂指数可测且在偏心率 0.3–0.9 范围内稳定（变化 ≤ 20%）。
4 · 量化验收标准
- 方法学校验（硬门槛）：自建 Verlet/RK4 管线在有精确解的开普勒问题（e=0.5）上复现轨道，一个周期后位置误差的收敛阶实测值与理论阶（2 与 4）偏差 ≤ 3%；并复现 Hairer 等教科书图 I.1.4 型能量曲线的定性形态。不过关则后续全部结论无效。
- 每个（方法, h, e）参数点积分 ≥ 10⁶ 周期步；能量漂移率用分段线性拟合 + 自助抽样给 95% 置信区间。
- 标度指数拟合同时用双对数最小二乘与稳健回归（Theil–Sen）交叉验证，两者差异 > 1σ 时必须报告并解释。
- 用 sympy 符号推导 Verlet 对单摆/开普勒的修正哈密顿量至 h⁴ 项，数值验证：数值轨道对修正哈密顿量的守恒精度比对原哈密顿量高至少 2 个数量级。
- 全部脚本开源，第三方一键重跑生成全部图表。
5 · 数据与工具
| 用途 | 来源 / 工具 |
|---|---|
| 积分器实现 | 自建 Python(numpy)：Verlet、RK4、leapfrog 各 ~30 行；scipy.integrate.solve_ivp 内置 RK45/DOP853/Radau，不内置辛方法，辛方法必须自建（这正是贡献的一部分） |
| 修正方程符号推导 | sympy（泰勒展开、泊松括号运算内置；BCH 级数需自行组织，量小） |
| 独立交叉校验 | Julia DifferentialEquations.jl 内置 VerletLeapfrog、KahanLi8 等辛方法（文档 SymplecticRK 页；具体算法清单需核实），仅用于校验与对比，不计入本项目贡献 |
| 长时高精度参照 | mpmath 任意精度积分小规模参照轨道 |
| 算力 | 10⁶–10⁸ 步/次，numpy 向量化单次运行秒–分钟级，全项目 CPU 总时长 < 20 小时 |
6 · 方法路径
- 装环境，自建 Verlet 与 RK4，跑通开普勒精确解校验（第 1 条验收）。
- 核实 Julia 辛积分器清单与 solve_ivp 能力边界，写成能力表。
- 对（方法 × h × e）网格做能量漂移扫描，提取振幅与漂移率。
- sympy 推导修正哈密顿量，逐项对照数值测得的误差结构。
- 实现朴素自适应步长与可逆自适应两种方案，测漂移率–容差标度律。
- 用 Julia 内置辛方法独立重算 3 个代表参数点交叉校验。
- 汇总为"何时必须用辛方法"的定量判据图。
7 · 新颖性边界
本课题不声称提出新积分器，也不声称发现新数学；辛方法长期能量行为的定理（Hairer–Lubich–Wanner）与自适应步长破坏辛性的现象（Preto & Tremaine 1999；arXiv:2301.06253 的可逆自适应）均已发表。已有文献完成了理论证明与个例演示。本项目的主结论是跨方法、跨偏心率、跨容差的系统标度测量及其与修正方程预测的逐项定量对照，并给出漂移率–容差幂指数这一文献中未见系统表列的量（检索 "adaptive step size symplectic energy drift scaling" 等未找到系统表列；未找到不等于不存在）。这类可复现性/定标贡献在计算数学界被承认，但定位必须写明，否则会被误读为重复教科书。若 H2 幂指数不稳定，"指数依赖偏心率"同样是有效结论，误差棒必须证明有能力分辨 20% 的变化。
8 · 决策门槛（go / no-go）
- 第 2 周末：第 1 条方法学校验必须通过；未通过则暂停扫描，先排查（这是纯编程问题，无科学风险）。
- 第 6 周末：sympy 推导修正哈密顿量到 h⁴ 是否可行。若符号复杂度失控，降级路径 A：只推导到 h² 项并用数值差分估计高阶项——主结论（标度对照）框架不变，仅对照精度降一档。
- 第 14 周末：自适应步长漂移信号是否可测（漂移率置信区间不含零）。若 10⁷ 步内测不出，降级路径 B：换更强椭圆轨道（e=0.95）或延长至 10⁸ 步（约增加 10 倍 CPU 时间，仍在笔记本范围）；若仍不可测，把 H2 改述为"漂移率上界"，框架保留。
- 预算裁剪顺序：先砍 Julia 交叉校验的参数点数（保 3 个最小集），再砍偏心率网格密度；两者都不影响主结论成立性。
- 适合对象:对编程有耐心、愿意读一章教科书理论的学生；本题几乎无"跑不出来"风险，是全组最稳基线。