单路口信号配时在随机交通流下的稳健性：Nagel–Schreckenberg 元胞自动机中 Webster 公式失效边界的测定

1 · 研究问题

经典 Webster 配时公式（基于确定性排队假设）给出的信号周期，在 Nagel–Schreckenberg（NaSch）随机元胞自动机产生的到达流下，平均延误相对于直接数值优化的最优配时高出多少？进一步：该次优差距随随机减速概率 p 与饱和度 x 如何变化，是否存在 Webster 近似可靠区与失效区的可测边界？

2 · 研究背景与空白

Webster 1958 公式 C₀=(1.5L+5)/(1−Y) 是工程界标准，其推导假设到达为平稳随机流、排队服从确定性流体近似。NaSch 1992 模型是被广泛校验过的最小随机交通模型，基本图（flow–density fundamental diagram）已有大量发表数据（arXiv:cond-mat/9902170 等）。已有研究用遗传算法在 CA/微观仿真中优化配时并与 Webster 对比，报告 15–19% 的延误改善（如《Traffic Light Optimization Based on Modified Webster Function》, J. Adv. Transp. 2021；多路口 GA 优化 arXiv 亦有），但这些工作以"提出更好算法"为目标，只报告个别流量情形的改善值。

空白在问题方向：已有工作问"哪个算法更好"，本项目问"Webster 的确定性假设在何种随机性/饱和度下失效、失效程度多大"——把次优差距本身作为被测函数在 (p, x) 平面上系统测绘。模型极简、无需真实路网数据、结论正负都成立。

3 · 可检验假设

• H1 低饱和度（x ≤ 0.7）且 p ≤ 0.3 时，Webster 配时的平均延误相对网格搜索最优解的超出量 ≤ 10%；高饱和度（x ≥ 0.9）时超出量 ≥ 30% 且随 p 单调增加。
• H2 失效边界（超出量=15% 等值线）在 (p, x) 平面上可用单调曲线拟合，且其位置对路段长度（≥ 某阈值后）不敏感（变化 ≤ 10%）。

4 · 量化验收标准

1. 方法学校验（硬门槛）：自建 NaSch 代码在环形道路上复现已发表基本图（最大流量、临界密度）与 arXiv:cond-mat/9902170 图示值偏差 ≤ 3%；单交叉口延误在确定性极限（p=0）下与流体排队理论解析延误偏差 ≤ 5%。不过关则后续全部结论无效。
2. 每个 (p, x, 配时) 点仿真 ≥ 10⁶ 时间步，弃置前 10⁵ 步暖机；平均延误报 ≥ 20 个独立随机种子的均值与 95% 置信区间。
3. 收敛性检查:路段长度 L ∈ {200, 400, 800} 格三档扫描，确认结论量（超出量）随 L 漂移 ≤ 5%；报告有效饱和度实测值而非标称值。
4. 最优配时用周期×绿信比二维网格（≥ 15×15）+ 局部加密确定，分辨率使延误差 < 1%。
5. 双成本口径：Webster（零计算成本）与网格搜索（报总仿真 CPU 时）都报，供"改善值/计算代价"权衡。
6. 全部代码开源、一键重跑。

5 · 数据与工具

用途	来源 / 工具
NaSch 模型	自建 numpy 位运算/数组实现（~150 行）；不依赖 SUMO（依赖链重，超出必要）
基本图对照	Schadschneider–Schreckenberg 系列发表数据（arXiv:cond-mat/9902170），仅用于校验，不计入贡献
Webster 公式与流体延误理论	Webster 1958 / 教科书（TRB Highway Capacity Manual 公式形式，人工转录核对）
优化	网格搜索自建；可选 scipy.optimize.differential_evolution 内置作交叉验证
算力	10⁶ 步 × 800 格单次 ~ 10 秒（numpy 向量化）；全网格 (8×8×225×20 种子) 需分层设计：先粗后细，总 CPU 约 100–200 小时——必须夜间批跑，规模超限时按裁剪顺序砍

6 · 方法路径

1. 装环境，自建环形道 NaSch，复现基本图（第 1 条验收前半）。
2. 加入单交叉口与红绿灯逻辑，p=0 极限对照流体排队解析延误（验收后半）。
3. 定义延误测量口径（须给出可复现判据:何时开始计延误、如何处理溢出）。
4. 对代表性 (p, x) 点做配时网格搜索，建立最优延误基线。
5. 计算 Webster 配时延误，绘制超出量热图与 15% 等值线。
6. 路段长度三档收敛性检查 + differential_evolution 交叉验证 3 个点的最优解。
7. 拟合失效边界曲线，给出使用建议表。

7 · 新颖性边界

本课题不声称新交通模型或新优化算法；NaSch 模型、Webster 公式、"GA 优于 Webster"的结论均已发表（J. Adv. Transp. 2021 报告改善约 15.6%）。已有工作的目标是展示新算法优势，通常只给少数流量情形的点值。本项目的主结论是次优差距在 (随机性 p, 饱和度 x) 平面上的系统测绘与失效边界定位——检索未见同型系统研究（未找到不等于不存在）。这属于"评价维度转换":从"谁更优"转为"经典公式的适用域"。历届丘奖有排队/调度类获奖（2025 finalist 发热门诊排班 MIP；2024 gold 飞镖 MDP），说明应用建模赛道成立；本项目与其无题材重合。若 H1 高饱和度超出量不足 30%，"Webster 比预期更稳健"同样是有效结论。

8 · 决策门槛（go / no-go）

• 第 3 周末:基本图校验通过。
• 第 6 周末:p=0 解析延误对照通过；若流体理论对照始终差 >5%，检查延误口径定义——口径分歧本身写入论文（工程延误定义不唯一是已知问题），改用"自洽口径 + 敏感性分析"，降级路径 A：主结论改为在固定口径下的相对比较，框架不变。
• 第 10 周末:估算全网格 CPU 总量。若 >200 小时，降级路径 B：p 与 x 各砍至 5 点、种子数减至 10，等值线分辨率降档——失效边界仍可定位，误差棒变宽。
• 第 20 周末:若失效边界在网格内不单调、无法拟合，改报热图 + 局部结论，放弃 H2 曲线拟合，H1 主结论保留。
• 适合对象:喜欢"看得见的系统"与建模叙事的学生；风险集中在仿真时长管理，无理论风险。

---