M16
稀疏与重尾随机矩阵最大特征值涨落对 Tracy–Widom 普适类的偏离：小规模可测的崩溃边界
1 · 研究问题
对稀疏 Wigner 矩阵（每行期望非零元 q 个）与重尾元素矩阵，最大特征值涨落偏离 Tracy–Widom（TW）分布的程度，作为 (N, q) 或 (N, 尾指数 α) 的函数如何标度？在笔记本可及的 N ≤ 4000 内，能否定量测绘"TW 区—崩溃区"的经验边界并与已发表的理论阈值对照？
2 · 研究背景与空白
GOE/GUE 最大特征值经标准化后收敛到 TW 分布是随机矩阵理论的中心结果；理论近年推进到定量层面：稀疏情形有限尺寸修正为 O(1/q)（远大于稠密情形），且存在明确相变——稀疏度低于阈值后极值特征值由最大度等局域机制主导，TW 普适性崩溃（arXiv:2507.19340《Quantitative Tracy-Widom laws for sparse random matrices》等 2022–2025 系列）；重尾元素 α<4 时极值统计转为 Fréchet 型（Soshnikov 等）。
已有工作是渐近定理与收敛速率上界；空白在评价维度：定理给出的是 N→∞ 阈值与速率阶，有限 N 下崩溃边界实际落在哪里、O(1/q) 修正的常数多大，缺少系统的公开数值测绘（检索见理论文献为主；未找到不等于不存在）。特征值计算 numpy 一行即可，理论参照极硬，正负结论皆有效——是"用模拟给定理量常数"的典型学生形态。
3 · 可检验假设
- H1 稠密 GOE 在 N ∈ [200, 4000] 内，实测分布与 TW₁ 的 Kolmogorov–Smirnov 距离随 N 按 N^(-2/3) 标度（指数偏差 ≤ 15%），复现已知有限尺寸修正阶。
- H2 稀疏矩阵在固定 N 下扫 q，KS 距离在 q ~ log N 量级附近出现可测拐点（斜率变化 ≥ 3 倍），其位置随 N 的移动方向与理论（崩溃阈值 ~ log N）一致；重尾情形拐点位于 α ≈ 4 附近。
4 · 量化验收标准
- 方法学校验（硬门槛）：稠密 GOE（N=1000, ≥10⁴ 样本）标准化最大特征值的经验分布与 TW₁ 参考值（均值 −1.2065、方差 1.6078，及分布表）偏差:均值差 ≤ 0.01、KS 距离 ≤ 0.02。不过关则后续全部结论无效。
- TW 参考分布来源写死：优先用已发表高精度表值（Bornemann 2010）或 TracyWidom Python 包（其精度需核实，用 Bornemann 表值抽查 ≥ 5 个分位点，差 > 10⁻³ 则弃用改查表）。
- 每个参数点 ≥ 10⁴ 独立矩阵样本；KS 距离给自助法 95% 置信区间；不使用 KS 检验 p 值作主口径（样本量大时必然拒绝，改报距离本身及其标度）。
- 标定 N^(-2/3) 用 ≥ 5 个 N 值双对数拟合 + Theil–Sen 交叉验证。
- 拐点位置用分段线性拟合定位，报告置信区间。
- 代码开源、一键重跑。
5 · 数据与工具
| 用途 | 来源 / 工具 |
|---|---|
| 矩阵生成与特征值 | numpy.random + numpy.linalg.eigvalsh（对称矩阵内置，N=4000 单次 ~ 秒级）；稀疏情形只需最大特征值，可用 scipy.sparse.linalg.eigsh（Lanczos，内置） |
| TW 参考分布 | Bornemann 2010 高精度数值表（arXiv:0904.1581 附表）人工转录；TracyWidom PyPI 包作对照（精度需核实） |
| 理论阈值对照 | arXiv:2507.19340 及其引文中的稀疏阈值表述，仅用于对照，不计入贡献 |
| 算力 | N=1000×10⁴ 样本 ~ 2–4 小时/参数点（eigvalsh）；稀疏 eigsh 更快；全项目约 80–150 小时 CPU，夜间批跑；N=4000 全谱点仅少量采样 |
6 · 方法路径
- 装环境，转录 TW₁ 参考表，通过稠密 GOE 校验（第 1 条验收）。
- 核实 TracyWidom 包精度与 eigsh 在稀疏 ± 符号矩阵上的收敛可靠性，写能力表。
- 稠密情形 N 扫描，复现 N^(-2/3) 修正标度（H1）。
- 固定 N ∈ {500, 1000, 2000}，扫稀疏度 q，测 KS 距离曲线与拐点。
- 重尾元素（Student-t(α)）扫 α ∈ [2, 8]，定位 Fréchet–TW 过渡。
- 拐点位置 vs N 的移动与理论阈值形式对照。
- 交叉校验:一个参数点用 Julia（LinearAlgebra.eigvals）独立重算。
7 · 新颖性边界
本课题不声称任何新定理；TW 普适性、稀疏崩溃阈值、重尾 α=4 过渡均为已发表理论（arXiv:2507.19340、Soshnikov 等）。已有数值工作多服务于定理演示或统计应用（如 Wishart 近似，arXiv:1209.3394）。本项目的主结论是有限 N 崩溃边界的经验测绘与修正常数的量化，即把渐近定理翻译成"N=1000 时你实际会看到什么"的对照图——属"评价维度转换"。历届丘奖 2025 bronze《Geometric Analysis of the Eigenvalue Range of the Generalized Covariance Matrix》为理论谱分析，与本项目的普适性数值检验不重合。若拐点在可及 N 内不可测（过渡过缓），"过渡宽度下界"同样是有效结论，需误差棒支持。
8 · 决策门槛（go / no-go）
- 第 3 周末:GOE 校验通过；TW 参考表来源冻结。
- 第 6 周末:单参数点吞吐实测。若 10⁴ 样本 > 6 小时，降级路径 A：主力 N 降至 500、样本 5×10³，误差棒放宽——标度指数与拐点仍可测。
- 第 14 周末:稀疏扫描的拐点是否可见。若 KS 曲线平滑无拐点，降级路径 B：改测"KS 距离的 1/q 标度常数"（理论明确预言 O(1/q)，只需拟合斜率），主框架（有限尺寸定量对照）保留。
- 第 26 周末:重尾部分若与稀疏部分撞算力，砍重尾（裁剪顺序:重尾 → N=2000 层 → 交叉校验点数），稀疏主线独立成文。
- 适合对象:线性代数扎实、对"普适性"叙事有热情的学生；理论文献阅读量是主要门槛。