非周期单砖铺陈上的渗流：Spectre 铺陈临界阈值测定与二维普适类的临界指数检验

1 · 研究问题

在 2023 年发现的 Spectre 非周期单砖（chiral aperiodic monotile）铺陈的邻接图上，位渗流（site percolation）临界概率 p_c 是多少（目标精度 ±0.001）？进一步：临界指数（β/ν、γ/ν 与分形维数）是否与二维周期格点普适类一致，从而把"非周期性不改变渗流普适类"的证据延伸到无反射对称的单砖情形？

2 · 研究背景与空白

渗流普适性断言：二维格点的临界指数只依赖维数不依赖格点细节。周期格点证据充分；Penrose 铺陈上的数值研究（Cambridge Math. Bull. 1998；转移矩阵 Monte Carlo 1992）支持其与方格同类。2023 年 Smith 等发现首个非周期单砖 Hat 与随后的 Spectre；2026 年已有论文测定 Hat 铺陈的渗流阈值（arXiv:2604.21165：位渗流对偶图 0.5442、键渗流 0.7982 等，附开源代码），并报告与二维普适类一致。

空白在样本（构型）维度：检索未见 Spectre 铺陈上的渗流研究（Spectre 无需反射即非周期，邻接结构与 Hat 不同；未找到不等于不存在，第 6 周须复查 arXiv 新文献）。方法完全公开（Newman–Ziff 算法 + 替换规则生成铺陈），Hat 论文提供了可对照的流程模板，结论正负都成立。

3 · 可检验假设

• H1 Spectre 邻接图位渗流 p_c 可测至 ±0.001（有限尺寸标度外推），且与 Hat 铺陈已发表值差异显著（差 > 3 倍合成误差）——即阈值确实依赖局部几何。
• H2 关联长度指数比值与序参量标度维数与二维普适类理论值（如分形维数 91/48 ≈ 1.8958）偏差 ≤ 2%，支持普适类不变。

4 · 量化验收标准

1. 方法学校验（硬门槛）：自建 Newman–Ziff 管线先在方格上复现位渗流 p_c = 0.592746，偏差 ≤ 0.0005；再复现 Hat 铺陈已发表阈值（用其开源代码交叉核对邻接图构造），偏差 ≤ 0.001。不过关则 Spectre 结果无效。
2. 有限尺寸标度:系统规模 ≥ 4 档（约 10⁴–10⁷ 砖），交叉点外推给 p_c 及自助法置信区间；报告标度修正项。
3. 每档规模 ≥ 10³ 次独立实现（大规模档可降至 10²，须在误差合成中体现）。
4. 临界指数用两独立方法（跨越概率导数标度 + 最大团簇分形维数盒计数）互验。
5. 铺陈生成正确性单独验收：替换规则迭代生成的铺陈与已发表 Spectre 图样在小规模下逐砖比对一致；邻接判定（共边）给可复现几何容差判据。
6. 代码开源、一键重跑。

5 · 数据与工具

用途	来源 / 工具
Spectre 铺陈生成	Smith–Myers–Kaplan–Goodman-Strauss 2023 论文（arXiv:2305.17743）替换规则；作者主页有参考实现（许可需核实）；自建 Python 实现为准
渗流算法	Newman–Ziff（自建 union-find ~100 行）；连通分量可用 scipy.sparse.csgraph.connected_components 交叉核对
Hat 对照	arXiv:2604.21165 及其 GitHub 代码，仅用于校验与对比，不计入贡献
方格参照	pc=0.592746（Newman–Ziff 2000），仅校验
几何处理	numpy/shapely（多边形共边判定；shapely 依赖轻）——共边判定的浮点容差策略需自建
算力	10⁶ 砖 × 10³ 实现的 Newman–Ziff 单档约数小时；全项目约 100–200 小时 CPU，夜间批跑

6 · 方法路径

1. 实现替换规则，生成并可视化 Spectre 铺陈，与发表图样比对（验收第 5 条）。
2. 构建邻接图（共边判定），统计配位数分布并与铺陈组合性质自洽核对。
3. 自建 Newman–Ziff，方格校验（第 1 条验收前半）。
4. 用 Hat 论文开源代码重建其结果，交叉核对自建管线（验收后半）。
5. 第 6 周复查文献：确认 Spectre 渗流仍无发表；若已出现，切换差异化轴（见 go/no-go）。
6. Spectre 上做规模分层扫描，外推 p_c；测两组临界指数。
7. 与 Hat、Penrose、方格结果并表，讨论"局部几何决定阈值、不改普适类"的证据链。

7 · 新颖性边界

本课题不声称新的渗流理论；普适性框架、Newman–Ziff 算法、Penrose 与 Hat 铺陈的渗流结果均已发表（Hat:arXiv:2604.21165，2026，含阈值与普适类一致性）。本项目的贡献定位是把同一问题移到 Spectre 铺陈——"换构型的独立检验"：阈值是新测量值（若检索保持为空），普适类检验是对既有结论的一次独立延伸。若第 6 周发现 Spectre 已被做，降级为"独立复现 + 指数集扩充"（Hat 论文以阈值为主，完整指数集测量仍有空间——该论文是否已测 β/ν、γ/ν 需核实后再定位）。历届丘奖 2021 mention 有 Bernoulli 渗流临界相下界的理论工作，本项目为数值测量，无重合。H1 若不成立（阈值与 Hat 接近），该结果同样有效且更出人意料。

8 · 决策门槛（go / no-go）

• 第 4 周末:替换规则生成 + 小规模逐砖比对通过。铺陈生成是本题最大工程风险；若 4 周内未通过，降级路径 A：改用 Hat 铺陈（有开源生成代码）做完整临界指数集测量（阈值已发表则只做指数），保留"非周期单砖渗流普适性"主框架。
• 第 6 周末:文献复查（见方法路径 5）；同时方格 + Hat 双校验通过。
• 第 12 周末:最大可行规模实测。若 10⁷ 砖超内存（邻接图约需数 GB，需第 4 周实测核实），上限降为 10⁶，规模档减为 3——p_c 精度降为 ±0.003，主结论保留。
• 第 28 周末:指数测量若统计量不足以分辨 2% 偏差，H2 改报"与普适类一致的置信区间"，不下强断言。
• 适合对象:算法与几何编程能力强、能忍受前期无科研产出的纯工程阶段的学生；风险偏高但阈值测量本身几乎必有产出。

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