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小阶非交换群的小 Davenport 常数：穷举搜索填表与二面体型家族的公式证明
来源说明：本则出自独立撰写的第二批方案。它与前 20 则同样遵循八块结构与硬门槛要求，但撰写时未做英文文献检索，新颖性边界依据的是历届获奖图谱与既有知识，而非当轮查新。因此其「需核实」条目更多，启动前须自行补一轮英文检索。
1 · 研究问题
阶 ≤ 32 的非交换群 G 中，哪些群的小 Davenport 常数 d(G)（最长不含"非空乘积为 1 的连续可重排子列"的序列长度，定义按文献标准口径）仍无发表值，其精确值是多少？由数据猜出的家族公式（如对半二面体群、模极大循环群）能否完整证明？
2 · 研究背景与空白
Davenport 常数源于理想类群的因子分解问题，是零和组合学（zero-sum combinatorics）的核心不变量。交换群情形研究充分：秩 ≤ 2 的交换群 D(G) 精确已知（如 D(Cm ⊕ Cn) = m + n − 1, m | n）。非交换情形有两个标准变体（小常数 d(G) 与大常数 D(G)），定义细节（子列是否允许重排乘积）必须先钉死——这本身是文献功课的一部分。
已有工作：二面体群、四元数群等家族的 d(G) 已有公式（需核实精确陈述与出处：搜索关键词 small Davenport constant dihedral quaternion formula）；系统的计算表在小阶范围存在但覆盖不全（需核实：搜索关键词 Davenport constant nonabelian groups table computation order 32）。丘奖相邻获奖论文：2022 优胜奖《On the Elementary Proof of the Inverse Erdős-Heilbronn Problem》属于加性组合/群上零和问题的近邻，说明该题材在评委谱系内。
空白在：小阶非交换群表中仍有未发表值的群（半二面体、广义四元数扩展、若干半直积），穷举搜索在 |G| ≤ 32 内笔记本可行，且家族公式的证明技术（提取子群链上的极长零和自由序列）初等可学。风险点：文献覆盖面核实工作量大，故列 ★★。
3 · 可检验假设
- H1：存在阶 ≤ 32 的非交换群，其 d(G) 未见发表值；本项目可给出全部此类群的精确值（穷举证明，附证书序列）。
- H2：半直积家族 Cm ⋊ C2 的 d(G) 满足统一公式 d = m + c（c 依作用而定），可对无穷家族完整证明。
4 · 量化验收标准
- 方法学校验（硬门槛）：搜索器先复现已知值——(a) 交换群 D(Cm ⊕ Cn) = m + n − 1 在 mn ≤ 36 的全部情形；(b) 二面体群已发表公式在 |G| ≤ 32 的全部情形（公式与出处第 4 周核实写死）。零偏差方可继续。
- 填表交付：阶 ≤ 32 全部非交换群（用 GAP 小群库枚举）的 d(G) 值 + 每群一条极长零和自由序列作为下界证书 + 穷举上界日志。
- 证明交付：至少一个无穷家族的公式完整证明。
- 搜索完备性：上界确认用带同构剪枝的完全搜索，报告搜索树规模与剪枝比；任一群的搜索须可在 72 小时内重跑完成，超时的群明确标注"未完成"而非猜测。
- 代码 + 证书序列开源，一键复跑。
5 · 数据与工具
| 用途 | 来源 / 工具 |
|---|---|
| 小群库与群运算 | GAP（gap-system.org 免费,SmallGroup 库）或 SageMath（内嵌 GAP） |
| 搜索器 | 自写 DFS + 陪集/自同构剪枝（Python 原型,C 提速） |
| 已知值对照 | 零和组合综述与原始论文（第 4 周核实清单；仅校验，不计入贡献） |
| 定义口径 | Geroldinger–Halter-Koch 因子分解理论专著相关章节（图书馆/公开预印本） |
| 算力量级 |
6 · 方法路径
- 装 GAP/Sage，写序列 DFS 搜索器，完成第 4 块第 1 条复现。
- 文献窗口（关键）：钉死 d(G) 定义口径，整理阶 ≤ 32 非交换群的已发表值清单，确定"未发表集合"（能力边界核实步）。
- 对未发表群逐个穷举：先随机爬山找长零和自由序列（下界），再完全搜索确认上界。
- 观察值表，对半直积家族提出公式猜想。
- 证明家族公式：下界给显式序列构造，上界用子群链归纳。
- 独立交叉校验：Sage 独立实现复算全部新值;GAP 群运算与自写乘法表一致性抽检。
7 · 新颖性边界
- 本课题不声称改进交换群理论，不把二面体/四元数已发表公式计入贡献；若某群值在核实中发现已发表，该群转为校验集。
- 已有工作：交换秩 ≤ 2 精确理论；非交换若干家族公式与部分计算表（第 4 周核实到群级）。丘奖相邻获奖论文：2022《On the Elementary Proof of the Inverse Erdős-Heilbronn Problem》（加性组合逆问题）——本题差异：不变量不同（Davenport 常数 vs Erdős–Heilbronn 型和集下界），对象是非交换群填表 + 家族定理。
- 本项目贡献（主结论）：未发表小阶群的 d(G) 精确值（含机器证书）+ 一个无穷家族公式的完整证明。
- 价值：填表贡献在零和组合领域被明确认可（有综述维护传统），证书化交付在公示查重下可被任何人复核。
- 风险披露：若核实后发现阶 ≤ 32 已全部发表，见第 8 块降级路径，主结论框架（填表 + 家族定理）平移到阶 ≤ 48 或变体常数。
8 · 决策门槛（go / no-go）
- 第 4 周末：定义口径与已发表清单核实完成。若阶 ≤ 32 无空缺 → 降级路径 A：目标改为阶 33–48 的空缺群（搜索代价上升，目标数收缩到 3–5 个群）;降级路径 B：转向同群表的 Erdős–Ginzburg–Ziv 常数 s(G) 或加权 Davenport 常数空缺，搜索器复用，框架不变。
- 第 8 周末：硬门槛复现通过，且单群搜索性能达标（|G| = 16 的群 ≤ 1 小时）。未达 → C 重写；仍未达则目标群集合按搜索代价重排，砍掉超 72 小时的群。
- 第 24 周末：家族公式证明若卡住,降级路径 C：只证下界构造 + 上界的穷举验证（有限范围定理化），明确标注一般上界为猜想。
- 选择前提：学生需接受"文献核实可能重塑目标清单"的不确定性；适合愿意读英文综述的学生。
- 预算裁剪顺序：家族证明的第二个家族 → 表的阶上限;"至少一个家族定理 + 空缺填表"是不可砍主线。