α-FPUT 非线性晶格能量均分时间随能量密度的标度指数：辛积分器自建实现的独立测量

1 · 研究问题

用自建辛积分器测量 α-FPUT（Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou）链的能量均分时间 T_eq 随能量密度 ε 的标度指数，在 N = 32–256、笔记本可达的 ε 区间内，测得的指数与近期文献报告的普适标度律是否一致？有限尺寸（小 N）对该标度的偏离从何处开始？

2 · 研究背景与空白

FPUT 问题（1955）是计算物理的开端：弱非线性晶格不但不快速热化，反而出现能量回归（recurrence）与超长的亚稳态。均分时间 T_eq 随 ε 的标度是刻画"通往热化之路"的核心量：波湍流理论对 α 链给出高阶共振主导的幂律预测，数值上 Onorato 等与 Benettin–Ponno 系列工作给出了不同参数区间的指数；2025 年 PRE（arXiv:2504.04725）研究了预热化（prethermalization）阶段，2026 年综述（arXiv:2603.23347）明确指出：历史文献中表观互异的热化指数主要源于非线性微扰强度的参数化不一致，而非机制不同。

空白在独立检验与参数边界：该综述给出的统一图像是新近论断，正需要独立实现、独立参数化核对的检验；且小 N（32–128）下标度律的适用边界对文献常用的大 N 结论是有价值的补充。物理全已发表、判据可量化、算力标尺文献明确。

3 · 可检验假设

• H1：在统一采用该综述的微扰参数化后，T_eq(ε) 在可达区间内呈幂律，指数与目标文献值在 bootstrap 95% 置信区间内一致（目标值在第 3 周精读后预注册；α 链文献量级为陡幂律，具体数值以精读为准，不预先照抄）。
• H2：N 从 256 降到 32 时，幂律指数的漂移超出统计误差（有限尺寸效应可检出）；若检不出，则"小 N 即达渐近标度"成立——两种结果都有效。

4 · 量化验收标准

1. 方法学校验（硬门槛）：复现 N = 32 α-FPUT 经典能量回归（FPUT recurrence），回归时间与文献值偏差 ≤ 5%；辛积分全程能量漂移 |ΔE/E| ≤ 10⁻⁶。此步不过关，后续全部结论无效。
2. 均分判据预先写死：谱熵 η(t)（spectral entropy）降至阈值法，双阈值（0.1/0.05）敏感性并行报告；不得事后挑阈值。
3. ε 扫描 ≥ 6 个点、每点 ≥ 8 个随机初始相位实现；指数拟合用双对数最小二乘 + 稳健回归（Theil–Sen）交叉验证，bootstrap 给置信区间。
4. 时间步收敛扫描：dt 减半后 T_eq 变化 < 2% 方可采信；守恒量漂移随 dt 的标度须与积分器阶数一致（作为实现正确性的第二证据）。
5. 全部代码与原始时序数据开源。

5 · 数据与工具

用途	来源 / 工具
积分引擎	自写 velocity-Verlet / 四阶辛积分器 + numba（需自行实现；无外部数据依赖）
谱分析	numpy FFT（正则模投影自写，约 20 行）
文献基准	FPUT 原始报告回归时间、arXiv:2504.04725、arXiv:2603.23347 的标度结果——仅作对照，不计入本项目的数据贡献
可视化	matplotlib

算力（基于文献标尺）：文献中低 ε 端 T_eq 可达 10⁸–10⁹ 自然时间单位——该区间明确超出笔记本范围。可达区间估算：dt = 0.05、单实现积分 10⁷ 时间单位 = 2×10⁸ 步；N = 64 时约 1.3×10¹⁰ 粒子更新，numba 单核按 ~10⁷–10⁸ 更新/秒计约 0.5–4 小时/实现（实测速度第 5 周核实）；6 个 ε × 8 实现 × 2 个 N ≈ 2–4 周后台，可行。降规模版本：N ∈ {32, 64}、ε 只取高端 4 点 → 指数仍可估，置信区间变宽、杠杆臂缩短，H2 的大 N 端结论放弃。

6 · 方法路径

1. 实现辛积分器，用谐振链（α = 0）解析解验证频率与能量守恒。
2. 复现 N = 32 FPUT 回归，完成硬门槛校验。
3. 实测 numba 更新速度，据此冻结 (N, ε) 网格与总预算表。
4. 实现正则模能量与谱熵在线计算（避免存全时序），跑通单点全流程。
5. 扫描 ε 与 N，每点多实现取均值与散布，估 T_eq 及其误差。
6. 做双口径指数拟合与阈值敏感性矩阵，检验 H1/H2。
7. 独立交叉校验：对 2 个 ε 点改用不同阶积分器（二阶 vs 四阶）复算 T_eq，一致性 ≤ 2%。

7 · 新颖性边界

• 本课题不声称发现新热化机制，不声称裁决波湍流理论——标度预测与大规模数值均已发表（点名 Onorato 系、Benettin–Ponno 系与 2026 综述）。
• 已有工作：2026 综述已提出"参数化不一致解释指数分歧"的统一论断，并配有其作者群的数值支持。
• 本项目贡献（主结论）：对该新论断的第三方独立检验（独立实现、独立参数化核对）+ 小 N 有限尺寸边界的系统测量。综述式论断恰恰最需要独立复现；一致或偏离都有效，偏离时须用收敛与守恒证据排除数值伪影后才可报告。
• 历届获奖图谱中非线性动力学多为实验摆/流体（2023 随机共振铜奖等），无晶格热化数值先例。

8 · 决策门槛（go / no-go）

• 第 5 周末：硬门槛 + 速度基准。若 numba < 10⁷ 粒子更新/秒 → 具名降级：其一，核心循环改 C（一周预算）；其二，直接采用降规模网格。两者均保留主结论框架。
• 第 20 周末：检查最低 ε 点是否能在预算内达到均分。达不到 → 截断 ε 区间、把"该点未热化的下限 T_eq >" 作为数据点上限报告（文献同样处理方式），拟合框架不变。
• 第 30 周末：冻结判据与网格；预算裁剪顺序：N 网格 → 实现数（8→5）→ ε 点数下限 5 不可再裁。
• 适合学生：动力学/编程兴趣强、能接受"大部分时间在等后台跑"的队伍；风险集中在算力预算而非方法。

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