纸条毛细渗吸的 Washburn √t 定律与蒸发限长：以湿度受控扫描检验稳态爬升高度的标度

标签：优先级:高 · 桌面实验/流体-多孔介质族 · 预算档位:≤400元 · 手机延时摄影+Tracker · 技能取向:细致操作+曲线拟合

1 · 研究问题

竖直纸条中水的爬升距离 L(t) 在早期是否严格满足 Lucas–Washburn 定律（Lucas–Washburn equation）L=√(Dt)（指数 0.50），其最终停在远低于 Jurin 高度的稳态限长 L_max 是否由蒸发决定、并满足 L_max∝√(D/e)（e 为单位面积蒸发率）？进一步：改变环境相对湿度（RH）能否定量预测 L_max 的移动？

2 · 研究背景与空白

多孔介质毛细渗吸是纸基微流控（paper-based microfluidics）的物理基础。Lucas（1918）与 Washburn（1921）给出 L∝ t^1/2；ACS Omega（2020）"Liquid Wicking in a Paper Strip" 做了实验加数值，指出长时间行为偏离 √t；arXiv:2407.20776（2024）研究了乙醇在多孔条上的蒸发限制铺展，指出稳态高度远低于 Jurin 极限、蒸发是主控因素，并给出理论。即：√t 段与"存在蒸发限长"均已发表。

丘奖 2024 优胜奖 "Wetting Tracing Paper Curling Behavior and Penetration of Fiber Porous Media"（高雄中学）研究的是湿纸卷曲力学与渗透，未做蒸发限长的湿度标度——须在报告中点名并区分。

空白在：公开文献中没有对水在常见纸条上的 L_max 随受控湿度的系统扫描及其与 √(D/e) 标度的定量对照（已发表工作用乙醇或未控湿度）。湿度控制可用饱和盐溶液密闭箱零成本实现，结论正负都成立，是典型"参数维度"空白。

3 · 可检验假设

• H1：密闭近饱和湿度（RH > 95%）下，log L–log t 斜率为 0.50 ± 0.03（95% CI）；开放环境下斜率在后期显著低于 0.5。
• H2：在 RH ≈ 33%（MgCl₂ 饱和液）、75%（NaCl）、>95% 三档下，L_max 随独立称重测得的蒸发率 e 满足 L_max∝ e^-1/2，幂指数 95% CI 含 −0.5。

4 · 量化验收标准

1. 方法学校验（硬门槛）：用内径已知的玻璃毛细管做 Jurin 毛细上升，反推水的表面张力，与 72 mN/m 偏差 ≤ 8%；同时在密闭条件下对基准滤纸复现 √t 指数 0.50 ± 0.03。不过关则后续数据全部无效。
2. 每个（纸种 × RH）条件重复 ≥ 8 条纸条，取自同一批次并记录批号；前沿位置读取用染色水 + Tracker，读取误差 ≤ 0.5 mm，判据（取染色前沿最高连续点）预先写死。
3. 蒸发率 e 独立测量：0.01 g 电子秤称湿纸条失重 ≥ 60 min，线性段斜率给 e，每条件 3 次。
4. 幂指数拟合：ODR + Theil–Sen 交叉验证 + bootstrap 95% CI；显著性检验用双侧 t 检验（α = 0.05），口径预先写死。
5. 误差源量化：温度漂移（±2 ℃ 内有效，记录 DHT22）、纸条批间差（以密闭条件 D 值的批间 RSD 报告）、悬挂角偏差（铅垂 ±2°）。"三档湿度下 L_max 差异不显著"亦为有效结论，但须证明误差棒能分辨标度预言差值的 1/2。
6. 全部图像、脚本开源可重跑。

5 · 数据与工具（含器材清单与估价）

用途	来源 / 工具	估价
滤纸/色谱纸/普通打印纸各一批（裁 10 mm 宽条）	实验耗材店	≈80 元
玻璃毛细管（内径 0.5/1.0 mm 标称）	淘宝	≈30 元
密闭整理箱 ×3 + MgCl₂、NaCl 试剂级	超市/淘宝	≈100 元
DHT22 温湿度传感器 + Arduino Nano（记录环境）	淘宝	≈50 元
0.01 g 厨房电子秤	淘宝	≈60 元
手机延时摄影 + Tracker/OpenCV；食用色素	自有/超市	≈10 元
对照基准	Washburn 1921 理论、arXiv:2407.20776 模型（仅用于校验对比，不计入贡献）	—

合计约 350 元。安全：无风险试剂（氯化镁、食盐）。

6 · 方法路径

1. 完成毛细管 Jurin 校验与密闭 √t 基准（第 4.1 条）。
2. 预实验确定单次爬升总时长与取样帧率（预计 30–120 min，延时 10 s/帧）。
3. 三档湿度箱平衡 ≥ 24 h（DHT22 连续记录），逐条件跑纸条 8 条 + 蒸发率称重 3 次。
4. 换第二、第三种纸重复，检验标度是否跨纸种成立。
5. ODR/稳健拟合 + bootstrap，绘 L_max–e 双对数总图。
6. 独立交叉校验：用称重法测同一纸条的吸水质量 m(t)，检验 m∝ L 的一致性。
7. 视频记录：湿度箱内跑一条全程延时（画面含刻度尺与温湿度屏），另录装置讲解，共 ≤ 3 min 成片，原始素材全保留。

7 · 新颖性边界

本课题不声称发现 √t 定律或"蒸发限制爬升"现象——两者均已发表（Washburn 1921；ACS Omega 2020；arXiv:2407.20776 用乙醇建立理论）。丘奖 2024 已有湿纸卷曲课题（见上），主题为力学形变而非蒸发限长。本项目主结论是：水/常见纸体系中 L_max–蒸发率标度的首次受控湿度检验，并给出跨纸种普适性判断。指数吻合 −1/2 则理论获得新体系的独立支持；系统偏离则给出偏离量与候选解释（纸内扩散/滞后角），两种结果都有效。

8 · 决策门槛（go / no-go）

• 第 4 周末：Jurin 校验偏差 > 8% 或密闭 √t 指数 CI 不含 0.5 → 排查纸条预处理（恒温恒湿平衡不足）与前沿判读；2 周内不过则换标准定量滤纸（Whatman 1 级）重做基准。
• 第 10 周末：若三档湿度下 L_max 的组间差 < 组内 RSD（无分辨能力）→ 降级路径 A：放弃湿度轴，改做"密闭 vs 开放"两态对照 + 纸种扫描，主结论换为 √t 失效时刻的标度，框架不变。
• 第 20 周末：批间 RSD > 15% → 降级路径 B：所有结论改为同批内配对设计（paired design），牺牲跨批普适性声明。
• 预算裁剪顺序：先砍第三种纸，再砍 0.01 g 秤（改用毛细管失重估 e，精度降级须注明）。

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