Yau Awards Archive 2020 — 2025

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P20

倾斜管中 Kelvin–Helmholtz 失稳的起始时间与波长：以倾角–密度差二维扫描对照 Thorpe 理论

标签：优先级:低（本组风险最高） · 桌面实验/分层流体族 · 预算档位:≤1200元 · 手机60-240fps+图像测量 · 技能取向:流体实验+稳定性理论

1 · 研究问题

密封长直管内两层不同密度液体在管子突然倾斜后产生加速剪切流，界面上 Kelvin–Helmholtz 失稳（Kelvin–Helmholtz instability, KHI）的起始时间 tc 与初现波长 λc，随倾角 θ 与密度差（Atwood 数 A=Δρ/2ρ̄）如何变化？实测 tc(θ,A) 是否符合 Thorpe（J. Fluid Mech. 39, 1969）的加速流临界条件，λc 是否如 Thorpe 报道般系统大于线性理论预言？

2 · 研究背景与空白

倾斜管实验（Thorpe experiment）是产生可控 KHI 的经典桌面构型：倾斜后上下层反向加速，剪切超过临界值时界面长出近驻定的波列。Thorpe (1969) 实测淡水/盐水界面初现波长 λc≈3 cm、失稳发生于倾斜后约 1.9 s，理论对 tc 预测良好、对 λc 系统偏小；Fluids 8, 318 (2023) 发表了"低成本 KHI 演示装置 + CFD"，以演示与单工况对照为主。即：构型、理论与低成本化均已发表。

空白在：低成本装置上系统的 (θ, A) 二维扫描并对 tc、λc 两个观测量分别做统计对照（Thorpe 原文扫描有限，2023 年低成本文以演示为目的）。风险在于每次实验后两层液体部分混合、需重新配液，实验通量低；且 tc、λc 判读主观性强，须靠预写死判据压制——故列为 P20。

3 · 可检验假设

  • H1：tc 随 sinθ 的标度与 Thorpe 加速流理论一致：理论预言 tc∝(sinθ)-1/2 量级依赖（以自写理论计算为准，预实验前完成推导并预注册），实测指数 95% CI 覆盖理论值。
  • H2：λc 与理论预言之比 >1 且在扫描范围内近似常数（复现并推广 Thorpe 的"波长系统偏大"结论）；若该比值随 A 漂移，则记录漂移作为界面厚度效应的证据。

4 · 量化验收标准

  1. 方法学校验（硬门槛）：先在基准工况（贴近 Thorpe 原文参数：A∼10-3–10-2、θ≈4°）复现 λc 与 tc 的文献量级——λc 在 2–4 cm、tc 在 1–3 s 内，且 5 次重复的 RSD ≤ 15%；同时用静水压/比重计核密度配制误差 ≤ 5%。不过关则不得进入扫描，全部后续数据无效。
  2. 判据写死：tc = 界面扰动幅值超过界面厚度 2 倍的首帧（图像灰度剖面自动判定，OpenCV 脚本，不许人工挑帧）；λc = 首个可辨波列相邻 ≥ 4 个波峰间距的均值（FFT 与直接量测双口径互核，差 ≤ 10%）。
  3. 扫描规模：θ ≥ 4 档 × A ≥ 3 档，每格 ≥ 5 次重复；指数拟合 ODR + Theil–Sen + bootstrap 95% CI。
  4. 误差源量化：初始界面厚度（缓注法 + 静置时间标准化，界面厚度由染色灰度剖面实测并入模型讨论）、倾斜动作一致性（限位挡块 + 配重杠杆，一次到位，动作时间 < 0.3 s 且录像核查）、温度（密度温漂，±1 ℃）。
  5. "指数与理论不可分辨"即 H1 成立；显著偏离亦为有效结论（加速流近似或界面厚度失效的量化），均须给误差棒功效说明。
  6. 全部视频、判定脚本与理论推导笔记开源。

5 · 数据与工具（含器材清单与估价）

用途 来源 / 工具 估价
透明矩形亚克力密封长槽（内腔约 1000×100×30 mm，带注液口，定制） 淘宝亚克力定制 ≈450 元
倾斜机构：铰链底座 + 限位挡块 + 配重杠杆 + 数显角度计 五金 + 淘宝 ≈150 元
盐、比重计（1.000–1.100，分度 0.001）、食用色素、缓注漏斗 淘宝 ≈100 元
照明：LED 平板背光 + 描图纸匀光 淘宝 ≈100 元
手机 60/240 fps + 三脚架（240 fps 仅用于失稳瞬间；波列生长时间尺度 ~1 s，60 fps 已足；不假设高速相机） 自有 0 元
OpenCV/Tracker + Python（含自写线性稳定性数值求解，纯 CPU） 免费 0 元
对照基准 Thorpe 1969 实测与理论、Fluids 8, 318 (2023) 低成本装置（仅校验对比，不计入贡献） —

合计约 800–1200 元（本组最高，仍远低于 3000 元上限）。安全：仅盐水与亚克力，槽体密封后倾斜时防滑落砸脚，双人操作。

6 · 方法路径

  1. 完成理论功课：推导/数值求解加速两层流的临界条件与最不稳定波长（预注册理论预言）。
  2. 定制槽体到货后做密封与注液排气工艺定型；建立缓注双层液 SOP（预计每轮配液 + 静置 40 min，评估日通量）。
  3. 完成第 4.1 条基准复现，锁定判定脚本。
  4. 执行 (θ,A) 扫描（≥ 60 轮，跨 8–10 周），中途每 10 轮插入一次基准工况回测（漂移核查）。
  5. ODR/稳健拟合 tc、λc 标度，与预注册理论对照（H1、H2）。
  6. 独立交叉校验：选 2 个工况用染色浓度剖面反演界面厚度，检验厚度修正能否解释 λc 偏大。
  7. 视频：倾斜瞬间至波列破碎全程 60 fps + 失稳瞬间 240 fps、背光波列特写、装置讲解；成片 ≤ 3 min。

7 · 新颖性边界

本课题不声称发现 KHI 或倾斜管构型——Thorpe (1969) 是奠基实验，"波长偏大"也是其原文结论；低成本化已由 Fluids (2023) 发表（该文以演示 + CFD 对照为主）。丘奖 2025 铜奖 "Study on Liquid Sloshing"（复旦二附中）属容器晃动非线性动力学，2020 优胜两相液滴下落属界面流，对象均不同，须点名。本项目主结论是：低成本装置上 tc、λc 对 (θ,A) 的二维系统扫描与预注册理论的统计对照——把一次性的经典对照升级为参数化检验。指数吻合则理论在弱分层桌面区间获得独立支持；"波长偏大比"若随 A 漂移则给出界面厚度效应的定量证据——两种结果都有效。

8 · 决策门槛（go / no-go）

  • 第 6 周末：槽体密封或注液工艺不成（界面注成即混）→ 换更小截面槽（混合减弱）或改用糖水/盐水更小 A；2 周不过则止损转 P15/P17（预算未大额支出前定制槽先不下单，第 2 周才订）。
  • 第 10 周末：基准工况 RSD > 15% 或判定脚本与人工判读系统不一致 → 判据迭代一轮；仍不过则降级路径 A：放弃 tc，只做 λc–(θ,A)（波长对判读噪声更稳健），主结论框架（参数化理论对照）不变。
  • 第 24 周末：扫描通量不足（< 30 轮完成）→ 降级路径 B：A 轴砍到 1 档，做纯倾角扫描 + 加密重复，结论范围收窄，框架不变。
  • 选择前提：仅当学生接受"配液–静置–单次拍摄"的低通量节奏且有稳定实验场地时才启动本题；否则顺位改选 P15–P18。
  • 预算裁剪顺序：先砍 LED 背光（自然光 + 台灯，图像信噪比降级入误差预算），角度计改手机倾角仪；定制槽不可砍。